Probabilidad y Etadística Tec.

Música

2008-12-12T22:48:00.000-08:00

Unidad V - Regresion Lineal

2008-12-10T18:41:00.000-08:00

Ejercicio de Regresion Lineal:

Pagina 1

Pagina 2

Pagina 3

12

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9

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8

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7

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Valor esperado de una variable aleatoria discreta

2008-11-18T19:38:00.003-08:00

Si X es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que determina el valor de X se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X. Puede emplearse un resumen de estos valores, tal como el promedio (media), para identificar el valor central de la variable aleatoria.
La funcion de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcion de ensayos en los que
X = x. En consecuencia, en realidad no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X. La media de X puede calcularsecomo el promedio ponderado de los valores posibles de X, asignando al resultado x un factor de ponderacion
fx(x) = P (X = x).

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X, denotada por μx o E(X), es

μx = E(X) = Sum. xfx(x)

La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X. Esto es, si se coloca una masa igual a fx(x) en cada punto x de la recta real, entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio. Por consiguiente, el termino funcion de probabilidad puede interpretarse mediante esta analogia con la mecanica.

Distribucion Hipergeometrica

2008-11-18T19:38:00.001-08:00

Distribución hipergeométrica

Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción. La respuesta a este problema es

En lugar de usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p, entre el número total de oros y el número de cartas de la baraja

de modo que podemos decir que

Este ejemplo sirve para representar el tipo de fenómenos que siguen una ley de distribución hipergeométrica. Diremos en general que una v.a. X sigue una distribución hipergeométrica de parámetros, N, n y p, lo que representamos del modo , si su función de probabilidad es

Observación

Cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la ley hipergeométrica tiende a aproximarse a la binomial:

El valor esperado de la hipergeométrica es el mismo que el de la binomial,

sin embargo su varianza

no es exactamente la de la binomial, pues está corregida por un factor, , que tiende a 1 cuando . A este factor se le denomina factor de corrección para población finita.

Distribucion Binomial

2008-11-18T19:37:00.003-08:00

Despues de analizar los ensayos de Bernoulli, podemos definir los siguiente>

Un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que

(1) Los ensayos son independientes
(2) Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados "exito" y "fracaso", y
(3) La probabilidad de exito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante

recibe el nombre de experimento binomial.

La variable aleatoria X que es igual al numero de ensayos donde el resultado es un exito, tiene una distribucion binomial con parametros p y n = 1, 2, ....
La funcion de probabilidad de X es

(en terminos de k)

Por otras parte, como cada ensayo del experimento se clasifica en dos resultados, {exito, fracaso}
la distribucion se conoce como "bi - nomial".

Ejemplo:

Ensayos de Bernoulli

2008-11-18T19:37:00.001-08:00

Ensayo de Bernoulli

1) Los ensayos son independientes

2) Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles denominados ¨exito¨ o ¨fracaso¨.

3) La probabilidad de exito de cada ensayo, denotada por P, permanece constante.

Ejemplo:

La probabilidad de recibir de manera erronea un bit transmitido por un canal digital es 0.1 ademas supongase que los ensayos de transmision son independientes.

Sea la variable aleatoria X = al numero de bits recibidos con error en los proximos cuatro que seran transmitidos, describe el espacio muestral de este experimento e indica el valor de x para cada resultado.

P {Recibir de manera erronea un bit} = 0.1

X = {Numero de bits con error en los proximos 4 que sean transmitidos}

P( X = x)

Combinaciones con != Factorial

P(e) = 0.1
P(c) = 0.9 n = 4

P(X=0) = 1 (0.656)
P(X=1) = 4 (0.0729) = 0.2916
P(X=2) = 6 (0.0081) = 0.0486
P(X=3) = 4 (0.0009) = 0.0036
P(X=4) = 1 (0.0001)

Formula: (n/x) = n!/x!(n-x)! o en terminos de m :

Distribuciones de probabilidad discretas

2008-11-18T18:35:00.000-08:00

Distribuciones y Funciones de Probabilidad

A menudo el interes recae en la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular.

En el ejemplo de la tabla anterior, el interes puede centrarse en la probabilidad de que ambas caracteristicas sean aprobadas, esto es, en la probabilidad de que X = 2. El conjunto de todos los resultados para los que {X=2} es un evento formado por un solo resultado (aprobado, aprobado). Por consiguiente, la probabilidad del evento {X=2} es 0.64. Esta conclusion puede escribirse como P(X=2) = 0.64.

De manera similar, el conjunto de todos los resultados para los que {X=1} es un evento compuesto por los resultados (aprobado, inaceptable) e (inaceptable, aprobado).

Para el espacio muestral discreto de este ejemplo, la probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades de los resultados contenidos en el evento,

P(X=1) = 0.16 + 0.16 = 0.32

Asimismo,

P(X=0) = 0.04

La tabla siguiente presenta un resumen de los valores posibles de la variable aleatoria X del ejemplo anterior, junto con la probabilidad de cada valor (donde los valores {0, 1, 2} son los valores posibles de X). Dado que X debe tomar uno de estos valores, la suma de todas las probabilidades es uno.

Notese que en estos ejemplos la variable aleatoria esta claramente definida. A menudo este es un paso inicial importante en el proceso de determinar una probabilidad.

El evento que esta formado por todos los resultados para los que X = x se denota como {X = x}, y la probabilidad de este evento como P (X = x).

La distribucion de probabilidad o distribucion de una variable aleatoria X es una descripcion del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. A menudo la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria es el resumen mas util de un experimento aleatorio. La distribucion de probabilidad de una variable aleatoria pude darse de muchas maneras. Para una variable aleatoria que puede tomar un numero pequeño de valores, lo mas simple es proceder como en el ejemplo anterior, y listar los valores posibles junto con las probabilidades respectivas. En otros casos, es conveniente expresar en terminos de una formula la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor x.

Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria que denota el numero de muestras de aire que es necesario analizar para detectar una molecula rara. Supongase que la probabilidad de que una muestra de aire contenga una molecula rara es 0.01, y que las muestras son independientes. Determine la distribucion de probabilidad de X.

Sean p: unamuestra donde esta presente la molecula rara, y a: una muestra donde la molecula esta ausente. El espacio muestral de este experimento es infinito, y puede ser representado por todas las secuencias posibles que comienzan con una cadena de "a" y terminan con p. Esto es:

S = {p, ap, aap, aaap, aaaap, aaaaap, y asi sucesivamente}

Considerense unos cuantos casos especiales. Se tiene que P (X = 1) = P (p) = 0.01 . Por otro lado, si se emplea la hipotesis de independencia,

P (X = 2) = P (ap) = 0.99 (0.01) = 0.0099

Una formula general es

P (X = x) = P (aa...ap) = 0.99 (elevado a la x - 1), para x = 1, 2, 3, ....

La descripcion de probabilidades asociadas con X en terminos de esta formula es el metodo mas sencillo para describir la ditribucion de X en este ejemplo.

---------------------------------------------------------------------------------------------

Funcion de Probabilidad

En el ejemplo anterior la distribucion de X esta descrita por una formula que expresa la probabilidad como una funcion de x. Esto es, la distribucion de X esta especificada por la funcion fx(x) = P (X = x). El subindice de fx(x) denota la variable aleatoria de interes. El subindice se omitira cuando no exista ninguna confusion sobre la probabilidad del resultado. Dado que fx(x) esta definida como una probabilidad, fx(x) es una funcion que va del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria al intervalo [0, 1].

Para una variable aleatoria X, fx(x) satisface las propiedades siguientes:

(1) fx(x) = P (X = x)
(2) fx(x) ≥ 0 para toda x
(3) ∑ fx(x) = 1

Ejemplo de funcion de probabilidad.

Funciones de Distribucion Acumulada

Supongase que en el ejemplo anterior el interes recae en la probabilidad de encontrar una molecula rara en tres muestras o menos. Esta pregunta puede expresarse como P (X ≤ 3).
El evento en que {X ≤ 3} es la union de los eventos {X = 1}, {X = 2}, {X = 3}. Al utilizar la notacion del ejemplo, el evento en que {X = 1} esta formado por un solo resultado p, el evento en que {X = 2} esta formado solo por el resultado ap, y el evento en el que {X = 3} por el resultado aap. Es claro que estos eventos son mutuamente excluyentes.
Por consiguiente,

P (X ≤ 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)

--------- = 0.01 + 0.99 (0.01) + 0.99²(0.01)
--------- = 0.0297

Para este ejemplo, existe una formula general,

P (X ≤ x) = 1 - 0.99ª

El ejemplo anterior ilustra el hecho de que en ocaciones es util expresar probabilidades acumuladas, tales como P(X ≤ x), en terminos de una formula. Por otra parte, el mismo ejemplo muestra que una formula para probabilidades acumuladas puede emplearse para encontrar la funcion de probabilidad de una variable aleatoria. En consecuencia, el uso de probabilidades acumuladas es una alternativa para describir la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria. Una funcion que proporciona probabilidades acumuladas tiene un gran valor.
E n general, para cualquier variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2, ...., xn, los eventos {X = x1}, {X = x2},....{X = xn} son mutuamente excluyentes. Por consiguiente,
P(X ≤ x) = ∑ fx(xi).

La funcion de distribucion acumulada de una variable aleatoria discreta X, denotada por Fx(x), es

Fx(x) = P(X ≤ x) = ∑ f(xi)

Para una variable aleatoria discreta X, Fx(x) satisface las propiedades siguientes.

(1) Fx(x) = P(X ≤ x) = ∑ fx(xi)
(2) 0 ≤ Fx(x) ≤ 1
(3) Si x ≤ y, entonces Fx(x) ≤ Fx(y)

Ejemplo de Funcion de Distribucion acumulada

UNIDAD III - Funciones de distribución de probabilidad

2008-11-18T18:27:00.000-08:00

Variables aleatorias y su clasificacion

Discreta ---- { X } - Variable aleatoria discreta (se puede contar).

Continua ----{ X } - Variable aleatoria continua (se puede medir) - tiempo, peso, estatura, etc.

Variables aleatorias discretas

Con frecuencia el interes recae en resumir con un numero el resultado de un experimento aleatorio. En muchos de los ejemplos de experimentos aleatorios considerados hasta el momento, el espacio muestral solo es una descripcion de los posibles resultados. En algunos casos las descripciones de los resultados son suficientes, pero en otros es util asociar un numero con cada resultado del espacio muestral. Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipacion, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razon, la variable que asocia un numero con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

Una variable aleatoria es una funcion que asigna un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Las variables aleatorias se denotan con una letra mayuscula, tal como X, y con una letra minuscula, como x, el valor posible de X. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria X recibe el nombre de rango de X.

Ejemplo:

Se evalua un nuevo proceso para la fabricacion de partes moldeadas en plastico en terminos de la coloracion y reduccion del tamaño. Una de las primeras corridas del proceso proporciona la informacion para el espacio muestral y las probabilidades que aparecen en la tabla.
Supongase que el interes recae en resumir los resultados de este experimento aleatorio con el numero de caracteristicas (de coloracion y reduccion del tamaño) que son aprobadas.
Por lo cual, se define una variable aleatoria, X, para ser igual al numero de caracteristicas aprobadas.

La cuarta columna de la tabla contiene los valores de X asignados a cada resultado del experimento. Por ejemplo, al resultado (aprobado, aprobado) se le asigna x=2.

Ejemplo 2:

El sistema de comunicacion por voz de una empresa tiene 48 lineas externas. En un determinado momento, se observa el sistema y algunas lineas estan ocupadas. Sea X la variable aleatoria que denota el numero de lineas en uso. Entonces X puede tomar cualquier valor entero de cero a 48.

X = {0, 1, 2, 3, 4, 5.....,48}

VIDEOS - UNIDAD II

2008-10-14T22:53:00.000-07:00

Espacio Muestral con Diagramas de arbol

Probabilidad mediante Conjuntos

Espacios muestrales con conjuntos

Probabilidad Condicional

Regla de la Probabilidad Total

Ejercicios4

2008-10-14T22:25:00.003-07:00

Ejercicio - Probabilidad Condicional

2008-10-14T22:25:00.001-07:00

Los resultados obtenidos de 266 muestras de aire se clasifican de acuerdo con la presencia de 2 moléculas

Sea A el evento formado por todas las muestras en las que se encuentra presente la molécula rara 1.

Sea B el evento formado por todas las muestras de aire donde esta presente la molecula rara 2.

Los datos se presentan en la tabla:

Encuentra la probabilidad de A

P (A / B) = 12 / 30

P (B) = n (B) = 30 P (B) = 30 / 266

P (B / A) = 12 / 36 = 1 / 3

Ejercicios - Probabilidad mediante conjuntos

2008-10-14T22:24:00.001-07:00

Los eventos compuestos se forman al aplicar las operaciones basicas de los conjuntos a los eventos individuales.
Las uniones, intersecciones y los complementos de eventos son de interes frecuente.
La probabilidad de un evento compuesto a menudo puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocaciones las operaciones basicas de los conjuntos tambien son utiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.

1)
La siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricacion de semiconductores. Supongase que se elige al azar una oblea.

Sea A el evento en el que la oblea tiene altos niveles de contaminacion

Sea B el evento en el que la oblea esta en el centro del instrumento

a) ¿Como interpretas A U B Y A ∩ B ?

A U B = {112 + 68 + 246} = 426

A ∩ B = {246}

b) Calcula la probabilidad de cada evento?

P (A) = 112 + 246 / 940 = 358 / 940 = 0.38

P (B) = 68 + 246 / 940 = 314 / 940 = 0.334

P (A U B) = 426 /940 = 0.4531

P (A ∩ B ) = 246 / 940 = 0.2617

Despues de tener entrevistas en dos compañias donde quiere trabajar, el evalua la probabilidad que tiene de obtener un empleo en la compañia A como 0.8 y la probabilidad de tenerla en la compañia B como 0.6 . Si por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba ofertas de ambas compañias es de 0.5, ¿ Cual es la probabilidad de que obtenga al menos una oferta de esas dos compañias?

A = compañia 1

B = compañia 2
P (A) = 0.8P (B) = 0.6

P (A ∩ B) = 0.5

P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) P (A U B) = 0.9

Ejercicios - Espacio muestral y conjuntos

2008-10-14T20:54:00.000-07:00

5)
Una caja tiene 3 pelotas una rosa, una blanca y otra azul.

Se sacan 2 de ellas reemplazándolas, es decir se saca una, se observa su color, se introduce y se saca otra.

Diagrama de árbol:

B = {x} probabilidad de que a primera bola sea blanca.

n (B) = 2

B = {BA, BR}

A = {X / X en rojo y blanco}

n (A) = 2 A = {BR, RB}

Conjuntos:

A U B = {BR, RB, BA} n (A U B) = 3

A ∩ B = {BR} n (A ∩ B) = 1

Las mediciones de tiempo redondeadas al minuto mas próximo necesario para completar una reacción química pueden modelarse utilizando el espacio muestal.

S = {1, 2, 3, 4, .......} conjunto universal Indeterminado

Sean los eventos:

E1 = {X / 1 ≤ X <>

E2 = {X / 3 <>

* Encuentra:

E1 U E2 = {X / 1 ≤ X <>

E1 ∩ E2 = {X / 4 ≤ X <>

E1´ = {X / X ≥ 10}

E1´ ∩ E2 = {X / 10 ≤ X <>

Se analizan muestras de policarbonato y se mide su resistencia a las ralladuras y a los golpes.
Los resultados obtenidos se muestran en la tabla:

Sea el evento A donde la muestra tiene una alta resistencia a los golpes

Sea el evento B donde la muestra tiene una alta resistencia a las ralladuras

Determina:

n (A ∩ B) = 40

n ( A´ ) = 7

n (A ∩ B) = 46

Representa con Diagramas de Venn cada espacio muestral:

Los resultados posibles de un experimento aleatorio son:

S = {a, b, c, d} Con probabilidad 0.1, 0.3, 0.5 y 0.1 respectivamente

P (a) = 0.1 + P (i) = 1
P (b) = 0.3
P (c) = 0.5
P (d) = 0.1

Sea A el evento {a, b} , B el evento {b, c, d} , y C {d}

Encuentra la probabilidad de:

P (A) = 0.1 + 0.3 = 0.4

P (B) = 0.3 + 0.5 + 0.1 = 0.9

P (C) = 0.1

P (A´) = 1 – 0.4 = 0.6

P (B´) = 1– 0.9 = 0.1

P (C´) = 1 – 0.1 = 0.9

P (A ∩ B) = 0.3

P (A U B) = 1

P (A´ ∩ B) = 0.6

P (B´ ∩ A) = 0.1

Teoria de los conjuntos, Axiomas y teoremas de probabilidad

2008-10-13T20:20:00.000-07:00

Teoria de los conjuntos, Axiomas y teoremas de probabilidad

Como ya lo dijimos, la teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, entonces utilizizando esta teoria, denotamos como a la unión de y , que es el conjunto de todos los puntos que pertenecen a o a (o a ambos). La intersección de estos conjuntos se define como el conjunto de todos los puntos que pertenecen a y a simultáneamente. Si (no contiene puntos), y son mutuamente excluyentes.

Algunas probabilidades que resultan evidentes, en esta notación se expresan como

representará entonces la probabilidad de tener ambos resultados, y , la probabilidad de tener como resultado un evento o (o ambos). En particular,

En el caso de que y sean mutuamente excluyentes tendremos .

Si son mutuamente excluyentes y exhaustivos, es decir, cubren todo el espacio muestral y por lo tanto , decimos que es una partición de en subconjuntos. Cuando es una partición se cumple que .

y son eventos independientes si y sólo si .

Se define probabilidad condicional como la probabilidad de obtener el resultado dado que también se obtiene :

En esta expresión el denominador de alguna manera sugiere una nueva normalización, como si redujéramos el espacio muestral al evento . Como , puede inferirse la relación

Evidentemente, en el caso de que y sean independientes, se cumple que .

Entonces podemos definir con base a la teoria de los conjuntos:

Axiomas de probabilidad:

* P (S) = 1

* 0 ≤ P (E) ≤ 1

* Para dos eventos E1 y E2 con E1 ∩ E2 = Ø

P (E1 ∩ E2 ) = P(E1) + P(E2)

P (0) = Ø

Si E es un evento cualquiera:

P (E´) = 1 - P(E)

Independencia de eventos:
Eventos independientes: dos eventos A y B son independientes sisé la ocurrencia o no ocurrencia afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro.

Regla de la adición:

P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

Tres o mas eventos:

P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A ∩ B) - P (A ∩ C) - P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)

Si son mutuamente excluyentes (independientes) :

P (A U B) = Ø

P (A U B) = P (A) + P (B)

Tres o mas eventos:

P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C)

Probabilidad Condicional:

Muchas veces la probabilidad de que ocurra un suceso viene influida por el hecho de que ocurra o no otro suceso, o por una información adicional.

En general, si A y B son dos eventos , se define la probabilidad condicionada del eveto A sobre el B como la probabilidad de que ocurra A habiendo sucedido antes B:

Regla de la multiplicacion:

Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. Entonces :

P (A ∩ B) = P (B) . P (A/B)

o bien

P (A ∩ B) = P (A) . P (B/A)

Si A y B son eventos independientes entonces:

P (A ∩ B) = P (A) . P (B)

Probabilidad Total:

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

Ejemplo:

P (F) = P (F ∩ A) + P (F ∩ A´)
= P (F/A) . P (A) + P (F/A´) . P (A´)

Teorema de Bayes:

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

P (B) = P (B/A1) . P (A1) + P (B/A2) . P (A2)+...+ P (B/An) . P (An)

o bien:

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.

Probabilidad mediente conjuntos y Diagrama de Venn

2008-10-12T20:04:00.000-07:00

Teoria de los Conjuntos

La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto, etc.

- Consideraremos a Ω como el conjunto universal (espacio muestral), el cual posee todos los elementos posibles, así el conjunto A es un subconjunto de Ω si todos los elementos de A son elementos de Ω, y se denota:

.- Sean A y B dos conjuntos cuales quiera entonces:

la unión se define como:

la intersección se define como:

el complemento se define como:

El conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío y se denota por:Notemos que :

Diremos que A y B son disjuntos o mutuamente excluyente si:

Para resolver algunos problemas de probabilidades es necesario conocer el numero de elementos que posee cierto conjunto y el conjunto universal, denominado, en probabilidades, espacio muestral, es por ello que se debe saber como determinar el número de elementos de cualquier conjunto, tarea que puede ser algo complicado, sin embargo en algunos casos esto se puede realizar y por ello es que es importante el aprender a calcular este número.

Diagrama de Venn

La representacion de los diagramas de Venn se basa en la teoría de conjuntos

Un diagrama de Venn es una representación gráfica de los conceptos de probabilidad en la que el espacio muestral está representado por un rectángulo y los eventos que suceden en el espacio muestral se representan mediante circulos como partes de dicho rectángulo.

Utilizando las operaciones de conjuntos, elabore estos ejemplos de diagramas de Venn:

Probabilidad mediante Conjuntos

2008-10-12T19:31:00.000-07:00

Conjuntos

El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).

Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

* La colección de elementos debe estar bien definida.

* Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementosdeben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.

* El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

NOTACIÓN

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos con letrasminúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en ellanzamiento de un dado.

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntosfinitos e infinitos.

FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad.

El conjunto de días de la semana

INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.

El conjunto de los números reales

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular deexpresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos.

A = {a, e, i, o, u}

COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.

A = {x x es una vocal}

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es elemento de, con el símbolo €, en caso contrario €/.

A = {1, 2, 3}

2 € A; 5 €/ A

TIPOS DE CONJUNTOS

CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por "0" o { }.

A = {x2 + 1 = 0 x € R}

El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0

CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω.

Referencias:

http://espanol.geocities.com/eprobabilidades/Intoducc.htm

http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/conjuntos.pdf

Permutaciones y Combinaciones

2008-10-12T19:21:00.000-07:00

Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

* Si el orden no importa, es una combinación.

* Si el orden sí importa es una permutación.

En otras plabras. una permutacion es una combinacion oredenada.

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

* Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

* Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

* Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)

* Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

Ejercicios - Espacio Muestral y Diagrama de Arbol

2008-10-12T14:20:00.000-07:00

1)

Lanzar dos dados
Encuentra el espacio muestral:

---------------------dado2---------------------

---------(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
---------(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
dado1-- (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
---------(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
---------(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
---------(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S= {36}

2)
Considere un experimento en el cual cada 10 min. se verifica el volumen de llenado de latas de refresco d una maquina llenadora automatica, con la finalidad de determinar si las latas cumplen con las especificaciones de volumen de llenado. Continue la evaluacion hasta que una lata no cumpla con las especificaciones.

Encuentra el espacio muestral:

s - cumple con especificaciones n - no cumple

S={n,sn,ssn,sssn,..... inf..}

3)
Se lanza una moneda, si sale aguila se lanza un dado, si sale sol se vuelve a lanzar la moneda. ¿Cual es el espacio muestral?

Podemos resolverlo mediente un diagrama de arbol tambien:

S = {A1,A2,A3,A4,A5,A6,A,S}

R(S) = 8

4)
Supongamos que de un proceso se fabrican 3 articulos de forma aleatoria. Cada articulo se inspecciona y clasifica como defectuoso o sin defectos.

Defectuosos "D" y sin Defectos "N" ¿Cual es el espacio muestral?

Utilizando un diagrama de arbol.

S = {(D,D,D),(D,D,N),(D,N,D),(D,N,N),(N,D,D),(N,D,N),(N,N,D)

(N,N,N)

S = 8

Diagrama de Arbol

2008-10-09T16:11:00.000-07:00

Diagrama de Arbol

Un diagrama de arbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un numero finito de maneras.

Este diagrama es de gran utilidad para representar el espacio muestral de algun experimento aleatorio, osea las probabilidades, permutaciones o combinaciones posibles que hay.

El diagrama de arbol se construye de izquierda a derecha y el numero de ramas en cada punto es el numero de resultados posibles del experimento siguiente. Se le conoce como conjunto producto.

Ejemplo: Hallar el conjunto producto AxBxC, en donde A = {1,2}, B = {a,b,c}, y C = {3,4}.

AxBxC consta de todas las ternas ordenadas, listadas a la derecha del "arbol".

AxBxC = {(1,a,3),(1,a,4),(1,b,3),(1,b,4),(1,c,3),(1,c,4),(2,a,3)(2,a,4),(2,b,3),(2,b,4),(2,c,3),(2,c,4)}

Ocurrencia de Eventos

2008-10-09T14:56:00.001-07:00

Probabilidad - Ocurrencia de Eventos

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas.

Probabilidad de Eventos

2008-10-07T20:40:00.000-07:00

Probabilidad de Eventos

¿Cómo podemos calcular probabilidades?

1. Haciendo uso de las estadísticas.

2. Basándose en la experimentación.

3. Asignando probabilidades.

Usando las estadisticas, se hace uso de la información que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa, y después de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas.

Ejemplo. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8 productos defectuosos.

p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana

= 18 / 1500 = 0.012

Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea serán defectuosos.

¿Porqué se utilizó para calcular las probabilidades la información de la semana inmediata anterior?. Debido a que esta refleja la situación que guarda actualmente la producción de la línea mencionada.

Ocurrencia de eventos

Basandose en la experimentacion. Hay casos en los que después de repetir un número muy grande de veces un experimento, es posible determinar las probabilidades de ocurrencia de algunos eventos, tales como: La probabilidad de que aparezca águila al lanzar una moneda equilibrada, la probabilidad de que aparezca el número 3 en un dado, etc., etc.

Ejemplos:

p(águila) =1/2 = 0.5

p(aparezca el número 3)= 1 / 6 = 0.1666

Asignando probabilidades. En este caso se hace uso de las probabilidades obtenidas mediante estadísticas y la experimentación y se asignan a los eventos previamente descritos y a partir de ellas se determinan probabilidades de otros eventos.

A continuación se definen algunas cuestiones implícitas en el cálculo de probabilidades.

a) Espacio muestral (S).- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo.

Ejemplos:

1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral.

S= {AA, AS, SA, SS}

Espacio Muestral

Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio y se denota por "S".

Ejemplo:

Lanzar un dado una vez

S = {1,2,3,4,5,6}

UNIDAD II

2008-10-07T19:06:00.000-07:00

Probabilidad

Antecedentes:

La teoria de la probabilidad tuvo sus comienzos a principios del siglo XVII como resultadode investigaciones sobre diversos juegos de azar. De entonces a la fecha, han contribuido a su perfeccionamiento muchos matematicos y cientificos celebres; pero, a pesar de su larga y activa historia, solo se axiomatizo durante la tercera y cuarta decada del siglo XX. El desarrollo axiomatico, llamado teoria moderna de la probabilidad, preciso los conceptos de la probabilidad y los coloco sobre una firme base matematica.
La importancia de la probabilidad ha crecido enormemente en los ultimos años, y hoy aparece, junto con su disciplina gemela, la estadistica, en casi todos los campos
, como la fisica, la quimica, la biologia, la medicina, la pscologia, la economia y todas las ramas de la ingenieria.

La probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinacion.
Si un dado se lanza al aire, entonces hay certeza que caeria, pero no es cierto afirmar que caera 6.

La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad esta presente en casi todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplo:

* Cualquier proyecto de ingenieria o de otras areas
* Competencias deportivas
* Juegos de azar, etc.

Suposicion: Todos los elventos tienen la misma oportunidad de ser ciertos (No existe preferencia).

VIDEOS - UNIDAD I

2008-10-05T20:13:00.000-07:00

Como calcular las Medidas de Tendencia Central con datos sin agrupar

Calcular las medidas de Tendencia Central con datos agrupados

Calculo de Percentiles

Elaboracion del Histograma y Poligono de Frecuencias

Elaboracion del Diagrama de Cajas y Bigotes

Ejercicio - Histograma y Polígono de Frecuencias

2008-10-05T18:51:00.000-07:00

Histograma

Con la tabla de frecuencias ya elaborada, observamos las frecuencias e intervalos de clase de cada clase:

Clase	Intervalos	M.declase(x)	Frec.	Fx	F.Acu.	F.Relat.	F.Re.Acum.
1	96 - 120	118	2	216	2	0.08	0.08
2	121 - 145	133	2	266	4	0.08	0.16
3	146 - 170	158	7	1106	11	0.28	0.44
4	171 - 195Mo	183	6	1098	17	0.24	0.68 Md
5	196 - 220	208	5	1040	22	0.2	0.88
6	221 - 245	233	3	699	25	0.12	1

		Sum. F = 25		Sum. Fx = 4,425

* Ubicamos abajo de la grafica eje "x" los intervalos de clase y a la izquierda en el eje "Y" la frecuencia de cada clase:

Polígono de Frecuencias

Con la tabla de frecuencias ya elaborada, observamos las frecuencias y marcas de clase de cada clase:

Clase	Intervalos	M.declase(x)	Frec.	Fx	F.Acu.	F.Relat.	F.Re.Acum.
1	96 - 120	118	2	216	2	0.08	0.08
2	121 - 145	133	2	266	4	0.08	0.16
3	146 - 170	158	7	1106	11	0.28	0.44
4	171 - 195Mo	183	6	1098	17	0.24	0.68 Md
5	196 - 220	208	5	1040	22	0.2	0.88
6	221 - 245	233	3	699	25	0.12	1

		Sum. F = 25		Sum. Fx = 4,425

* Ubicamos abajo de la grafica eje "x" las marcas de clase y a la izquierda en el eje "Y" la frecuencia de cada clase:

Grafica Circular, Diagrama de Puntos y Diagrama de Pareto

2008-09-28T17:50:00.000-07:00

Grafica Circular

Se forma al dividir un círculo en sectores circulares de manera que:

a) Cada sector circular equivale al porcentaje correspondiente al dato o grupo que representa.

b) La unión de los sectores circulares forma el círculo y la suma de sus porcentajes es 100.
Diagrama de Puntos

Los diagramas de puntos sirven para presentar gráficamente tablas en las cuales se consideran únicamente una variable y una cantidad asociada a cada valor de la misma.

Hay dos tipos de diagramas de puntos. Los dos muestran esencialmente la misma información, sólo que en diferente forma y con diferente propósito. La construcción de estos diagramas se describe a continuación:

a) El primer tipo de diagrama de puntos se construye colocando en el eje horizontal los valores de la variable (los cuales en muchos casos son arbitrarios) y en el eje vertical las cantidades asociadas a éstos. Finalmente, para cada valor de la variable y cada cantidad asociada se dibujan puntos cuya altura corresponde a la magnitud de dicha cantidad.

Al retomar el ejemplo 1 de los alumnos de nuevo ingreso se tiene:

Programa	Total de Estudiantes
Economía	12
Sociología Rural	9
Estadística	5
Computo Aplicado	7

Con el objeto de simplificar la presentación, primero identificaremos a cada programa con un número; así, por ejemplo, Economía se identificará con el número 1, Sociología Rural con el 2 y así sucesivamente. Ya efectuado lo anterior, se tendrá que la variable en cuestión corresponde a los diferentes programas (X) y los valores numéricos que pueden tomar son 1, 2, 3 y 4. Las cantidades asociadas a estos números son los totales de estudiantes de nuevo ingreso por lo que la gráfica queda de la manera siguiente:

Diagrama de puntos que corresponde a los totales de estudiantes de nuevo ingreso (Y) por diversos programas (X) del Colegio de Postgraduados.

b) Para construir el segundo tipo de diagramas de puntos se colocan en el eje horizontal los valores de la variable y sobre cada valor se dibujan tantos puntos como aparecen éstos.

Al retomar el ejemplo 2 de la tabla de calificaciones del Examen Final de Bases de Datos I.

88	77	49	38	100	95	60	75	100	80
63	69	50	90	82	65	75	100	95	50
80	70	60	100	75	80	100	90	85	75

La gráfica quedará de la manera siguiente:

Diagrama de Pareto

Un diagrama de Pareto se asemeja a un histograma, excepto que es una gráfica de barras de frecuencias de una variable cualitativa, no de datos cuantitativos agrupados en clases. Las barras de la gráfica, que pueden representar frecuencias o frecuencias relativas (porcentajes) se organizan en orden descendente de izquierda a derecha. Esta disposición da como resultado la ubicación de las categorías más importantes de datos, según su frecuencia de ocurrencia, en las posiciones iniciales de la gráfica. Los diagramas de Pareto se usan en el control de procesos para tabular las causas asociadas con variaciones de causas atribuibles en la calidad del producto del proceso. Es común que solamente unas cuantas categorías de causas se asocien con la mayoría de los problemas de calidad, de modo que los diagramas de Pareto permiten que tanto equipos de trabajadores como gerentes se concentren en las áreas más importantes en las que se necesitan acciones correctivas.

EJEMPLO Se encontró que los refrigeradores que no fueron aprobados en la inspección final en una planta ensambladora de aparatos eléctricos durante el último mes tenían defectos debidos a las siguientes causas: ensamble, acabado de laca, fallas eléctricas, abolladuras u otras causas. La figura 1-8, obtenida con Minitab, es el diagrama de Pareto para la representación gráfica tanto de las frecuencias como de las frecuencias relativas de cada causa de falla en inspección. Como puede verse, la gran mayoría de fallas en inspección se deben a defectos en el ensamble y el acabado de laca.

Diagrama de Pareto de: Defectos

Referencias: http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/metgraf/metgraf.htm

Histograma y Poligono de Frecuencias

2008-09-28T17:25:00.000-07:00

Histograma. Se utiliza en datos cuantitativos en distribuciones de frecuencia. Son rectángulos verticales unidos entre sí, en donde sus lados son los límites reales inferior y superior de clase y cuya altura es igual ala frecuencia de clase.

Distribucion de frecuenc
Poligono de Frecuencias

Consiste en una serie de segmentos que unen los puntos cuyas abscisas son los valores centrales de cada clase y cuyas ordenadas son proporcionales a sus frecuencias respectivas.

Diagrama de Cajas y Bigotes

2008-09-28T17:12:00.000-07:00

DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES (Box and Whisker Plot)

Presentación visual que describe al mismo tiempo varias características importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, el alejamiento de la simetría, y la identificación de valores extremos (puntos atípicos), es decir, de valores que se alejan de una manera poco usual del resto de los datos.

Presenta los tres cuartiles, (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja vertical u horizontalmente.

Procedimiento

Para el diagrama de cajas y bigotes se requiere

Calcular la mediana y los otros dos cuartiles, con los cuales se formará la caja, que tiene la mediana como eje central, y como lados los dos cuartiles. Estos cuartiles reciben también los nombres de " bisagras". La altura (anchura) de la caja no interesa.
La distancia H definida como la distancia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, es decir, corresponde al rango intecuartílico Þ H = Q3 - Q1 = RIC.
El paso correspondiente a 1.5 veces la distancia Þ Paso = 1.5 H
Cercas Internas, ubicadas a un paso de las bisagras o de los respectivos cuartiles. Así, las Cercas Internas Inferior (CIi) y Superior (CIs) estarán dadas por:

CIi = Q1 - Paso
CIs = Q3 + Paso

Si la cerca interna inferior da menor que el valor mínimo de la muestra, ésta se hace igual al valor mínimo; igualmente, si la cerca interna superior da mayor que el valor máximo, ésta se hace igual a dicho valor.
Cercas Externas, ubicadas a un paso de las cercas internas. Así, las Cercas Externas Inferior (CEi) y Superior (CEs) estarán dadas por:

CEi = CIi - Paso
CEs = CIs + Paso
Se denominan "valores adyacentes" los ubicados entre las cercas internas y los bordes de las cajas. Por simplicidad no se grafican.
"Valores extremos" son los ubicados entre las dos cercas, y merecen especial atención, ya que pueden ser valores atípicos, que, en algunos casos, no pertenecen realmente a la distribución general de donde provienen los datos.
"Valores lejanos" o , ubicados por fuera de las cercas externas, correspondientes a valores extremos, que requieren un mayor análisis que los valores atípicos.

Considere los siguientes datos, correspondientes a :

De este conjunto de datos tenemos que:

Me = 90.45
Q1 = 88.25
Q3 = 92.2

Rango intercuartílico = RIC = 92.2-88.25 = 3.95 Þ Paso = 5.925
Cercas interna inferior = 88.25 - 5.925 = 82.325
Cerca interna superior = 92.20 + 5.925 = 98.125
Cerca externa inferior = 82.325 - 5.925 = 76.40
Cerca externa superior = 98.125 + 5.925 = 104.05

Como se observa hay dos valores que merecen especial atención: 98.8 y 100.3 que están entre las cercas interna y externa superior.

Esta informacion fue sacada de: http://siona.udea.edu.co/~bcalderon/1_cajasbigotes.html

Ejercicio - Diagrama de Tallos y Hojas

2008-09-28T17:00:00.000-07:00

Ejercicio. Diagrama de Tallos y Hojas

En la tabla se presentan los datos de la resistencia a la compresión de cilindros de concreto.

Elabora un diagrama de Bloque.

Dato menor = 76

Dato mayor = 245

Entonces los tallos serian desde 7 hasta 24.

Tallo	Hoja	Frecuencia
7	6	1
8	7	1
9	7	1
10	15	2
11	058	3
12	013	3
13	133455	6
14	1235689	7
15	01344678888	12
16	0003357789	10
17	0112445668	10
18	0011346	7
19	034699	6
20	0178	4
21	8	1
22	189	3
23	7	1
34	5	1

Diagrama de Tallos y Hojas

2008-09-28T16:45:00.000-07:00

Diagrama de Tallos y Hojas

Es una técnica estadística para representar un conjunto de datos. Cada valor numérico se divide en dos partes. El o los dígitos principales forman el tallo y los dígitos secundarios las hojas. Los tallos están colocados a lo largo del eje vertical, y las hojas de cada observación a lo largo del eje horizontal.

El "tallo" es usado para agrupar los puntajes y cada "hoja" indica los puntajes individuales dentro de cada grupo.

El tallo esta formado por 1 ó más de los digitos principales y una hoja la cual contiene el resto
de los digitos. En general debe escogerse un número relativamente pequeño de tallos en comparacion con el número de observaciones.
Lo usual es seleccionar entre 5 y 20 tallos.

Bibliografia: http://www.estadistica.cl/~agora/texto/FlashHelp/Diagrama_de_Tallo_y_Hoja.htm

Ejercicio - Percentiles

2008-09-28T15:04:00.000-07:00

Ejercicio.

PK - K% de datos por debajo de (K%) -
P25 ---» Son 25% de los datos de menor valor al que se encuentra en esta posicion.

Datos:

105,97,245,163,207,134,218,199,160,196,221,154,228,131,180,178,157,151,175,201,183,
153,174,154,190

* Se ordenan ascendentemente los datos

97,105,131,134,151,153,154,154,157,160,163,174,175,178,180,183,190,196,199,201,207,
218,221,228,245

n = 25
K = 25

Formula:

PK =

Obtencion de resultados:

P25 = = 6.25 = 7 = 154

P50 = = 12.5 = 13 = 175

P75 = = 18.75 = 19 = 199

* Cada valor obtenido se ubica en los datos ya ordenados decuerdo a su numero de posicion, para obtener el resultado.

Cauntiles

2008-09-28T13:17:00.000-07:00

Cuantiles

Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un metodos que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales.

Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes.

Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana.

Para algunos valores u , se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):

u	Q(u)
0.5	Mediana
0.25,0.75	Cuartiles
0.1,…0.99	Deciles
0.01,…0.99	Percentiles

Cuartiles

Son tres valores con las siguientes características:

Q₁: Primer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual queda 1/4 de los elementos

de la serie es tudiada.

Q₃: Tercer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual que dan los 3/4 de los

elementos que constituyen la serie.

Evidentemente el segundo cuartil coincide con la mediana. Como puede comprobarse, no tendría

ninguna utilidad definir el cuarto cuartil.

Para datos Agrupados

Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una

tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

k= 1,2,3

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k

n = Número de datos

Fk = Frecuencia acumulada de la clase que ant

ecede a la clase del cuartil k.

fk = Frecuencia de la clase del cuartil k

c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k

* Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante

otra fórmula se tiene lo siguiente:

El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 2 5% de las o bservaciones y es superado por el 75% de las observaciones.

Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:

Donde:

L1 = limite inferior de la clase que lo contiene

P = valor que representa la posición de la medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida soli cit ada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase

El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la m ediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.

Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:

Donde:

L1 = limite inferior de la clase que lo contiene

P = valor que representa la posición de la medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase

El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.

Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:

Donde:

L1 = limite inferior de la clase que lo contiene

P = valor que representa la posición de la medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase.

Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75% percentil.

Para datos sin Agrupar

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

- Para el primer cuartil:

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

- Para el tercer cuartil

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

Percentiles

Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc.

Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99.

Para datos Agrupados

Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula:

k= 1,2,3,... 99

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del decil k

n = Número de datos

Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.

fk = Frecuencia de la clase del decil k

c = Longitud del intervalo de la clase del decil k

Pra datos no Agrupados

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

Para los percentiles, cuando n es par:

Siendo K el numero de percentil.

Cuando n es impar:

Siendo K el numero de percentil.

Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.

Esta informacion fue sacada de: www.sectormatematica.cl/media/NM4/NM4_cuantiles.doc

Ejercicio - Datos Agrupados

2008-09-14T17:17:00.000-07:00

Datos Agrupados

Ejercicio1.

* Orden ascendente de los datos

97,105,131,134,151,153,154,154,157,160,163,174,175,178,180,183,190,196,199,201,
207,218,221,228,245.

N = 25

Rango(R) = Vmax. - Vmin. -----> 245 -97 = (R) = 148

Numero de clases (K) -----> 1 + 3.332 log N = 1 + 3.332 log 25 = 1 + 3.332 (1.3979)
= 1 + 4.657 = 5.657 -----> (K) = 6

Ancho de clase (C) -----> R/K = 148/6 = 24.66 -----> (C) = 25

Tabla de Frecuencias

Clase	Intervalos	M.declase(x)	Frec.	Fx	F.Acu.	F.Relat.	F.Re.Acum.
1	96 - 120	118	2	216	2	0.08	0.08
2	121 - 145	133	2	266	4	0.08	0.16
3	146 - 170	158	7	1106	11	0.28	0.44
4	171 - 195Mo	183	6	1098	17	0.24	0.68 Md
5	196 - 220	208	5	1040	22	0.2	0.88
6	221 - 245	233	3	699	25	0.12	1

		Sum. F = 25		Sum. Fx = 4,425

Media

Formula:

Mediana

Formula:

Moda

Formulas:

Ubicamos el intervalo en el que se encuentra -----> 171 - 195

Y aplicamos la otra formula:

d1 = | 6 - 7 | = 1
* La frecuencia donde se encuentra la moda menos la frecuencia
anterior y posterior.
d2 = | 6 - 5| = 1

Entonces:

Ejercicio - Datos no Agrupados

2008-09-09T17:26:00.000-07:00

Datos no Agrupados

Ejercicio 1.

105,97,245,163,207,134,218,199,160,196,221,154,228,131,180,178,157,151,175,201,183,
153,174,154,190

* Orden ascendente de los datos

97,105,131,134,151,153,154,154,157,160,163,174,175,178,180,183,190,196,199,201,207,
218,221,228,245

N=25 = 4,354

Medidas de Tendencia Central

Media

Formula:

Mediana

N - es impar, entonces:

Formula:

X(13) = 175 - entonces:

Moda

Dato que mas repite:

Medidas de Dispersión o Variabilidad

Desviación típica o estandar

Formula:

97,105,131,134,151,153,154,154,157,160,163,174,175,178,180,183,190,196,199,201,207,
218,221,228,245

Cada valor de

Varianza

Formula:

Estadística Descriptiva (conceptos)

2008-09-03T16:11:00.000-07:00

Estadística

*Se encarga de la recopilación, presentacion, analisis y uso de los datos para la toma de desiciones y resolver problemas.

Distribucion de frecuencias

La Estadistica se divide en:

* La descriptiva presenta la información en forma cómoda, utilizable y comprensible.

* La inferencial se ocupa de la generalización de esa información haciendo deducciones acerca de las poblaciones basándose en muestras tomadas de ellas.

Distribucion de frecuencias

Para estudiar el comportamiento de un fenómeno se requiere información (Obtención de Datos)

* Por medio de encuestas (interrogatorio oral o escrito que se aplica a varias personas acerca del problema).

* Por medio del registro de las observaciones que se hacen de él.

Los datos pueden ser :

Cualitativos (expresan cualidad). Ej: Sexo: Masculino, Femenino.

Cuantitativos (expresan cantidad). Ej: Edad en años cumplidos: l5, l8,20,etc.

Población
También llamada universo o colectivo es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones.

Muestra
Es el grupo de elementos en el que se recogen los datos y se realizan las observaciones, siendo realmente un subgrupo de la población.

Esatadística Descriptiva

* Es la parte de la estadística que describe y resume una serie de datos.
La estadística descriptiva hace enfasis en tres aspectos:

La forma de la distribución. Para describir como estan distribuidos los datos utiliza una herramienta llamada "distribucion de frecuencia" y presenta la información por medio de tablas y gráficas.
Las "medidas de tendencia central" que resumen la información a una cifra que es representativa de la serie de datos.
Las "medidas de variabilidad o dispersión" nos indican que tan variables son los datos respecto a las medidas de tendencia central.

Medidas de Tendencia Central

Media ( X )

Mediana (Md)

Moda (Mo)

Medidas de Disperción

Desviacion Estandar

Varianza

Rango

Media:

Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.

Mediana:

Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.

Ejemplo de la representacion de la Mediana en un gráfico de Ojiva:

Moda:

Indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia.

Datos agrupados y No agrupados

Son datos agrupados cuando tienen FRECUENCIA (quiere decir que están contados y clasificados y DATOS NO AGRUPADOS cuando no tienen frecuencia o que no están contabilizados o clasificados.

Las medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y las Medidas de dispersión (desviación estándar, varianza, cuartiles, percentiles, entre otros se CALCULAN DIFERENTE cuando se trata de datos agrupados y de datos no agrupados.

88	77	49	38	100	95	60	75	100	80
63	69	50	90	82	65	75	100	95	50
80	70	60	100	75	80	100	90	85	75

88	77	49	38	100	95	60	75	100	80
63	69	50	90	82	65	75	100	95	50
80	70	60	100	75	80	100	90	85	75

88	77	49	38	100	95	60	75	100	80
63	69	50	90	82	65	75	100	95	50
80	70	60	100	75	80	100	90	85	75