Probabilidad y Etadística Tec.: Distribucion Hipergeometrica

Distribución hipergeométrica

Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción. La respuesta a este problema es

$\begin{eqnarray}\html{eqn24}{{\cal P}_{rob}}[2 \mbox{ oros en un grupo de $8$\sp... ...{{ \left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)\,}} \nonumber \end{eqnarray}$

En lugar de usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p, entre el número total de oros y el número de cartas de la baraja

$\begin{displaymath}p=\frac{D}{N}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4} \Longrightarrow \left... ...dot p \\ \\ N-D = N\cdot q \qquad (q=1-p) \end{array}\right. \end{displaymath}$

de modo que podemos decir que

$\begin{displaymath}{{\cal P}_{rob}}[k \mbox{ oros en un grupo de $n$\space carta... ...ght)\,}}{{ \left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)\,}} \end{displaymath}$

Este ejemplo sirve para representar el tipo de fenómenos que siguen una ley de distribución hipergeométrica. Diremos en general que una v.a. X sigue una distribución hipergeométrica de parámetros, N, n y p, lo que representamos del modo $X{\leadsto}{ {{\bf HGeo} \left( N,n,p \right)} }$ , si su función de probabilidad es

$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[X=k] = \frac{{ \left... ...box{ \ \ si \ }\max\{0,n-Nq\} \leq k \leq \min\{n,NP\} $ } } } \end{displaymath}$

Observación

Cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la ley hipergeométrica tiende a aproximarse a la binomial:

$\begin{displaymath}{ {{\bf HGeo} \left( N,n,p \right)} } \stackrel{N\rightarrow \infty}{\longrightarrow} { {{\bf B} \left( n,p \right)} } \end{displaymath}$

El valor esperado de la hipergeométrica es el mismo que el de la binomial,

$\begin{displaymath}{ {{\bf E} \left[ X \right]} } = np \end{displaymath}$

sin embargo su varianza

$\begin{displaymath}{ {{\bf Var } \left[ X \right]} }= npq\cdot \frac{N-n}{N-1} \end{displaymath}$

no es exactamente la de la binomial, pues está corregida por un factor, $\frac{N-n}{N-1}$ , que tiende a 1 cuando $N\rightarrow\infty$ . A este factor se le denomina factor de corrección para población finita.

Probabilidad y Etadística Tec.

martes, 18 de noviembre de 2008

Distribucion Hipergeometrica

Observación

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