Distribuciones de probabilidad discretas

Distribuciones y Funciones de Probabilidad

A menudo el interes recae en la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular.

En el ejemplo de la tabla anterior, el interes puede centrarse en la probabilidad de que ambas caracteristicas sean aprobadas, esto es, en la probabilidad de que X = 2. El conjunto de todos los resultados para los que {X=2} es un evento formado por un solo resultado (aprobado, aprobado). Por consiguiente, la probabilidad del evento {X=2} es 0.64. Esta conclusion puede escribirse como P(X=2) = 0.64.

De manera similar, el conjunto de todos los resultados para los que {X=1} es un evento compuesto por los resultados (aprobado, inaceptable) e (inaceptable, aprobado).

Para el espacio muestral discreto de este ejemplo, la probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades de los resultados contenidos en el evento,

P(X=1) = 0.16 + 0.16 = 0.32

Asimismo,

P(X=0) = 0.04


La tabla siguiente presenta un resumen de los valores posibles de la variable aleatoria X del ejemplo anterior, junto con la probabilidad de cada valor (donde los valores {0, 1, 2} son los valores posibles de X). Dado que X debe tomar uno de estos valores, la suma de todas las probabilidades es uno.

Notese que en estos ejemplos la variable aleatoria esta claramente definida. A menudo este es un paso inicial importante en el proceso de determinar una probabilidad.

El evento que esta formado por todos los resultados para los que X = x se denota como {X = x}, y la probabilidad de este evento como P (X = x).

La distribucion de probabilidad o distribucion de una variable aleatoria X es una descripcion del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. A menudo la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria es el resumen mas util de un experimento aleatorio. La distribucion de probabilidad de una variable aleatoria pude darse de muchas maneras. Para una variable aleatoria que puede tomar un numero pequeño de valores, lo mas simple es proceder como en el ejemplo anterior, y listar los valores posibles junto con las probabilidades respectivas. En otros casos, es conveniente expresar en terminos de una formula la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor x.

Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria que denota el numero de muestras de aire que es necesario analizar para detectar una molecula rara. Supongase que la probabilidad de que una muestra de aire contenga una molecula rara es 0.01, y que las muestras son independientes. Determine la distribucion de probabilidad de X.

Sean p: unamuestra donde esta presente la molecula rara, y a: una muestra donde la molecula esta ausente. El espacio muestral de este experimento es infinito, y puede ser representado por todas las secuencias posibles que comienzan con una cadena de "a" y terminan con p. Esto es:

S = {p, ap, aap, aaap, aaaap, aaaaap, y asi sucesivamente}

Considerense unos cuantos casos especiales. Se tiene que P (X = 1) = P (p) = 0.01 . Por otro lado, si se emplea la hipotesis de independencia,

P (X = 2) = P (ap) = 0.99 (0.01) = 0.0099

Una formula general es

P (X = x) = P (aa...ap) = 0.99 (elevado a la x - 1), para x = 1, 2, 3, ....

La descripcion de probabilidades asociadas con X en terminos de esta formula es el metodo mas sencillo para describir la ditribucion de X en este ejemplo.

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Funcion de Probabilidad

En el ejemplo anterior la distribucion de X esta descrita por una formula que expresa la probabilidad como una funcion de x. Esto es, la distribucion de X esta especificada por la funcion fx(x) = P (X = x). El subindice de fx(x) denota la variable aleatoria de interes. El subindice se omitira cuando no exista ninguna confusion sobre la probabilidad del resultado. Dado que fx(x) esta definida como una probabilidad, fx(x) es una funcion que va del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria al intervalo [0, 1].

Para una variable aleatoria X, fx(x) satisface las propiedades siguientes:

(1) fx(x) = P (X = x)
(2) fx(x) ≥ 0 para toda x
(3) ∑ fx(x) = 1

Ejemplo de funcion de probabilidad.



Funciones de Distribucion Acumulada

Supongase que en el ejemplo anterior el interes recae en la probabilidad de encontrar una molecula rara en tres muestras o menos. Esta pregunta puede expresarse como P (X ≤ 3).
El evento en que {X ≤ 3} es la union de los eventos {X = 1}, {X = 2}, {X = 3}. Al utilizar la notacion del ejemplo, el evento en que {X = 1} esta formado por un solo resultado p, el evento en que {X = 2} esta formado solo por el resultado ap, y el evento en el que {X = 3} por el resultado aap. Es claro que estos eventos son mutuamente excluyentes.
Por consiguiente,

P (X ≤ 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)

--------- = 0.01 + 0.99 (0.01) + 0.99²(0.01)
--------- = 0.0297

Para este ejemplo, existe una formula general,

P (X ≤ x) = 1 - 0.99ª

El ejemplo anterior ilustra el hecho de que en ocaciones es util expresar probabilidades acumuladas, tales como P(X ≤ x), en terminos de una formula. Por otra parte, el mismo ejemplo muestra que una formula para probabilidades acumuladas puede emplearse para encontrar la funcion de probabilidad de una variable aleatoria. En consecuencia, el uso de probabilidades acumuladas es una alternativa para describir la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria. Una funcion que proporciona probabilidades acumuladas tiene un gran valor.
E n general, para cualquier variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2, ...., xn, los eventos {X = x1}, {X = x2},....{X = xn} son mutuamente excluyentes. Por consiguiente,
P(X ≤ x) = ∑ fx(xi).

La funcion de distribucion acumulada de una variable aleatoria discreta X, denotada por Fx(x), es

Fx(x) = P(X ≤ x) = ∑ f(xi)

Para una variable aleatoria discreta X, Fx(x) satisface las propiedades siguientes.

(1) Fx(x) = P(X ≤ x) = ∑ fx(xi)
(2) 0 ≤ Fx(x) ≤ 1
(3) Si x ≤ y, entonces Fx(x) ≤ Fx(y)

Ejemplo de Funcion de Distribucion acumulada