Teoria de los conjuntos, Axiomas y teoremas de probabilidad

Teoria de los conjuntos, Axiomas y teoremas de probabilidad

Como ya lo dijimos, la teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, entonces utilizizando esta teoria, denotamos como a la unión de y , que es el conjunto de todos los puntos que pertenecen a o a (o a ambos). La intersección de estos conjuntos se define como el conjunto de todos los puntos que pertenecen a y a simultáneamente. Si (no contiene puntos), y son mutuamente excluyentes.

Algunas probabilidades que resultan evidentes, en esta notación se expresan como

representará entonces la probabilidad de tener ambos resultados, y , la probabilidad de tener como resultado un evento o (o ambos). En particular,

En el caso de que y sean mutuamente excluyentes tendremos .

Si son mutuamente excluyentes y exhaustivos, es decir, cubren todo el espacio muestral y por lo tanto , decimos que es una partición de en subconjuntos. Cuando es una partición se cumple que .

y son eventos independientes si y sólo si .

Se define probabilidad condicional como la probabilidad de obtener el resultado dado que también se obtiene :

En esta expresión el denominador de alguna manera sugiere una nueva normalización, como si redujéramos el espacio muestral al evento . Como , puede inferirse la relación

Evidentemente, en el caso de que y sean independientes, se cumple que .



Entonces podemos definir con base a la teoria de los conjuntos:


Axiomas de probabilidad:


* P (S) = 1

* 0 ≤ P (E) ≤ 1

* Para dos eventos E1 y E2 con E1 ∩ E2 = Ø

P (E1 ∩ E2 ) = P(E1) + P(E2)

P (0) = Ø

Si E es un evento cualquiera:

P (E´) = 1 - P(E)

Independencia de eventos:
Eventos independientes: dos eventos A y B son independientes sisé la ocurrencia o no ocurrencia afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro.



Regla de la adición:

P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

Tres o mas eventos:

P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A ∩ B) - P (A ∩ C) - P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)


Si son mutuamente excluyentes (independientes) :

P (A U B) = Ø

P (A U B) = P (A) + P (B)


Tres o mas eventos:

P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C)

Probabilidad Condicional:

Muchas veces la probabilidad de que ocurra un suceso viene influida por el hecho de que ocurra o no otro suceso, o por una información adicional.

En general, si A y B son dos eventos , se define la probabilidad condicionada del eveto A sobre el B como la probabilidad de que ocurra A habiendo sucedido antes B:

Regla de la multiplicacion:

Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. Entonces :


P (A ∩ B) = P (B) . P (A/B)

o bien

P (A ∩ B) = P (A) . P (B/A)

Si A y B son eventos independientes entonces:

P (A ∩ B) = P (A) . P (B)



Probabilidad Total:

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

Ejemplo:

P (F) = P (F ∩ A) + P (F ∩ A´)
= P (F/A) . P (A) + P (F/A´) . P (A´)

Teorema de Bayes:

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

P (B) = P (B/A1) . P (A1) + P (B/A2) . P (A2)+...+ P (B/An) . P (An)

o bien:

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.